Formelsammlung Mathe

 

Inhalt

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Lineare Abhängigkeit

Linearkombinationen

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Vektorraumgesetze für endlich viele Summanden bzw. Faktoren gelten. Damit kommt man zum Begriff der Linearkombination. Sind die v1 , ..., vn Elemente aus V und , dann nennt man die Form

eine Linearkombination der v1 , ...vn mit den Faktoren .

Wenn die alle gleich Null sind, heißt die Linearkombination trivial, sonst wird sie nichttrivial genannt.


Lineare Abhängigkeit

Seien Vektoren aus V. Dann heißen sie linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Also:

Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Eine beliebige nichtleere Teilmenge heißt linear unabhängig, wenn endlich viele beliebig gewählte Vektoren aus L linear unabhängig sind. Die leere Menge soll linear unabhängig sein.

Ebenso ist eine beliebige Teilmenge linear abhängig, wenn es endlich viele linear abhängig Vektoren in L gibt.

Ein einzelner Vektor ist nach der obigen Definition genau dann linear unabhängig, wenn er verschieden vom Nullvektor ist.

Beispiele

Der Nullvektor ist linear abhängig, denn es gilt . Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig.

Die leere Menge ist stets linear unabhängig.

Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist linear unabhängig.

Im sind die Vektoren (1, 0) und (0, 1) linear unabhängig. Die Vektoren a = (-1, 2) und b = (2, - 4) sind linear abhängig, denn es gilt 2a + b = 0.

Allgemein gilt, dass im kanonischen Vektorraum Kn über K die Vektoren: e1 := (1, 0, 0, ..., 0), e2 := (0, 1, 0, ..., 0) bis en := (0, 0, 0, ..., 1) linear unabhängig sind.

 

Wenn ein Vektor Linearkombination der Vektoren ist, also , dann sind v1 , ..., vn , w trivialerweise linear abhängig. Andererseits gilt auch:

Lemma 5216A

Seien linear abhängig und v1 , ..., vn linear unabhängig, dann lässt sich w als Linearkombination der v1 , ..., vn darstellen. Es gibt also mit .

Beweis

sind linear abhängig also gibt es mit ; umformuliert: .

Andererseits muss aber wegen der linearen Unabhängigkeit der v1 , ..., vn auch gelten. Damit muss aber sein und da w beliebig war, gilt und wir können durch dividieren.

Jetzt können wir sofort die gesuchte Linearkombination angeben: .

Satz 15XS (Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen)

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, eine linear unabhängige Teilmenge. Dann ist jede Teilmenge von L ihrerseits linear unabhängig.

Beweis

Indirekt. Man nehme linear abhängig an und dann ist aber L nach Definition linear abhängig. Widerspruch.


Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

 

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