Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

       Konvexe Mengen

       Quotientenvektorräume

   - Matrizen

   - Lineare Gleichungssysteme

   - Determinanten

   - Eigenwerte

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Lineare Abhängigkeit

Linearkombinationen

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Vektorraumgesetze für endlich viele Summanden bzw. Faktoren gelten. Damit kommt man zum Begriff der Linearkombination. Sind die v₁ , ..., v_n Elemente aus V und , dann nennt man die Form

eine Linearkombination der v₁ , ...v_n mit den Faktoren .

Wenn die alle gleich Null sind, heißt die Linearkombination trivial, sonst wird sie nichttrivial genannt.

Lineare Abhängigkeit

Seien Vektoren aus V. Dann heißen sie linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Also:

Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Eine beliebige nichtleere Teilmenge heißt linear unabhängig, wenn endlich viele beliebig gewählte Vektoren aus L linear unabhängig sind. Die leere Menge soll linear unabhängig sein.

Ebenso ist eine beliebige Teilmenge linear abhängig, wenn es endlich viele linear abhängig Vektoren in L gibt.

Ein einzelner Vektor ist nach der obigen Definition genau dann linear unabhängig, wenn er verschieden vom Nullvektor ist.

Beispiele

Der Nullvektor ist linear abhängig, denn es gilt . Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig.

Die leere Menge ist stets linear unabhängig.

Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist linear unabhängig.

Im sind die Vektoren (1, 0) und (0, 1) linear unabhängig. Die Vektoren a = (-1, 2) und b = (2, - 4) sind linear abhängig, denn es gilt 2a + b = 0.

Allgemein gilt, dass im kanonischen Vektorraum Kⁿ über K die Vektoren: e₁ := (1, 0, 0, ..., 0), e₂ := (0, 1, 0, ..., 0) bis e_n := (0, 0, 0, ..., 1) linear unabhängig sind.

Wenn ein Vektor Linearkombination der Vektoren ist, also , dann sind v₁ , ..., v_n , w trivialerweise linear abhängig. Andererseits gilt auch:

Lemma 5216A

Seien linear abhängig und v₁ , ..., v_n linear unabhängig, dann lässt sich w als Linearkombination der v₁ , ..., v_n darstellen. Es gibt also mit .

Beweis

sind linear abhängig also gibt es mit ; umformuliert: .

Andererseits muss aber wegen der linearen Unabhängigkeit der v₁ , ..., v_n auch gelten. Damit muss aber sein und da w beliebig war, gilt und wir können durch dividieren.

Jetzt können wir sofort die gesuchte Linearkombination angeben: .

Satz 15XS (Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen)

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, eine linear unabhängige Teilmenge. Dann ist jede Teilmenge von L ihrerseits linear unabhängig.

Beweis

Indirekt. Man nehme linear abhängig an und dann ist aber L nach Definition linear abhängig. Widerspruch.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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