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Lineare AbbildungLineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen | |
Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen | |
Vektorraum der linearen Abbildungen/ Verallgemeinerung/ Literatur | |
Lineare Abbildung
Die lineare Abbildung (auch linearer Operator oder Vektorraumhomomorphismus) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper, bei der es unerheblich ist, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe mittels der Funktion abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.Das abgebildete Beispiel einer Spiegelung an der Y-Achse verdeutlicht dies. Der Vektor c ist die Summe der Vektoren a und b und sein Bild der Vektor c'. Man erhält c' aber auch, wenn man die Bilder a' und b' der Vektoren a und b addiert.
Man spricht dann davon, dass eine lineare Abbildung mit den Verknüpfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation verträglich ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus zwischen Vektorräumen.
In der Funktionalanalysis, bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorräume, die eine Topologie tragen, spricht man meist von linearen Operatoren statt von linearen Abbildungen. Formal gesehen sind die Begriffe synonym. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist jedoch die Frage der Stetigkeit bedeutsam, während Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen 
(jeweils mit der euklidischen Norm) oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen hausdorffschen topologischen Vektorräumen.
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