Lie-Integration

Grundlagen

Lie-Operator

Der Lie-Operator D ist ein linearer Differentialoperator: Sei ein Gebiet und (hierbei sei sowie ) von der Gestalt

Die Funktionen sind holomorph (d. h. sie können in eine konvergierende Potenzreihe entwickelt werden).

Lie-Reihen

Der Lie-Operator kann auf eine Funktion f(z) (die in der gleichen Region holomorph ist wie ) angewandt werden:

Die Lie-Reihe L wird nun folgendermaßen definiert:

wobei D² die zweifache Anwendung des Lie-Operators auf f(z) bedeutet, und so weiter. Da die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion durch

gegeben ist, kann die Lie-Reihe symbolisch in folgender Form geschrieben werden:

.

Vertauschungssatz

Für die Lie-Reihe gilt ein Vertauschungssatz: Es sei  eine holomorphe Funktion und die in  entwickelte Potenzreihe von F konvergiere im Punkt  mit . Dann gilt

,

was auch in der Form

geschrieben werden kann. Die letzte Darstellung motiviert die Bezeichnung Vertauschungssatz: Man kann die Anwendungsreihenfolge von e^tD und F vertauschen.

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