Lie-Integration

Beispiel

Als Demonstration des Verfahrens wird hier die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators mittels Lie-Integration gelöst. Die Bewegung des Oszillators kann durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden:

.

Zuerst wird diese Gleichung in ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt:

,

.

Die Anfangsbedingungen werden als und bezeichnet. Damit hat der Lie-Operator folgende Form:

.

Die Lösungen der Differentialgleichungen sind nun durch die Lie-Reihen gegeben:

wobei hier den Zeitschritt t - t₀ der Integration darstellt. Um die Lösung explizit darzustellen, wird nun die Lie-Reihe in ihrer entwickelten Form dargestellt:

Nun werden die einzelnen Terme der Reihe berechnet:

Allgemein lässt sich zeigen, dass in diesem Fall gilt:

Nun können die einzelnen Terme in die Lie-Reihe eingesetzt werden:

Nach einer Faktorisierung von und ergibt sich schließlich

Bei den beiden Reihen in den Klammern handelt es sich um die Potenzreihe der Kosinus- bzw. Sinus-Funktion. Damit folgt nun die Lösung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators:

.

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