Lebesgue-Integral

Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals

Integration nicht-negativer Funktionen

Nun definiert man zunächst das Integral für nicht-negative Funktionen, d. h. für Funktionen, die keine negativen Werte annehmen. Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion ist ihre Messbarkeit. Eine nicht-negative Funktion , B Borelsche σ-Algebra, ist genau dann messbar, wenn es eine Folge von einfachen Funktionen gibt, die punktweise und monoton wachsend gegen f konvergiert. Man definiert nun das Integral einer nicht-negativen, messbaren Funktion durch

wobei die f_n einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen f konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge f_n unabhängig. Das Integral kann auch den Wert annehmen.

Häufig findet man in der Literatur auch folgende äquivalente Definition:

Man definiert also das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion, indem man die Funktion „von unten“ beliebig genau durch einfache Funktionen approximiert.

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