Lebesgue-Integral

Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals

Maßraum und messbare Funktionen

Das Lebesgue-Integral wird auf einem Maßraum definiert. Vereinfacht gesagt ist ein Maßraum eine Menge Ω mit einer zusätzlichen Struktur, die es erlaubt, bestimmten Teilmengen ein Maß zuzuordnen, z. B. ihre geometrische Länge (bzw. ihr Volumen). Das Maß, das dieses leistet, heißt Lebesgue-Maß. Eine Teilmenge A von , der man ein Maß zuordnen kann, heißt messbar. Ist A eine messbare Menge, so bezeichnet man mit das Maß von A. Das Maß einer messbaren Menge ist eine nichtnegative reelle Zahl oder . Für das Lebesgue-Maß einer Teilmenge A des schreibt man stattdessen üblicherweise .

Integration einfacher Funktionen

So wie das Riemann-Integral mittels Approximation durch Treppenfunktionen konstruiert wird, konstruiert man das Lebesgue-Integral mit Hilfe sogenannter einfacher Funktionen. Eine einfache Funktion, auch Elementarfunktion genannt, ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte α_i annimmt. Somit lässt sich jede einfache Funktion Φ schreiben als

Dabei ist die charakteristische Funktion, α_i eine positive, reelle Zahl und A_i die (messbare) Menge, auf der die Funktion den Wert α_i annimmt.

Nun lässt sich auf sehr natürliche Weise das Integral einer einfachen Funktion definieren:

Das Integral von Φ über Ω ist also einfach die Summe der Produkte aus Funktionswert von Φ und Maß der Menge, auf der die Funktion den jeweiligen Wert annimmt.

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