Lebesgue-Integral

Schreibweisen

Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable x angeben, so schreibt man

oder oder auch .

Ist das Lebesgue-Maß, so schreibt man statt einfach dx, im eindimensionalen Fall schreibt man auch

für das Integral über das Intervall [a, b] oder ]a, b[.

Wenn das Maß eine Radon-Nikodým-Dichte h bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt

.

In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise

häufig auch dann verwendet, wenn formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man h nicht als Funktion, sondern als Distribution auffasst.

Ist das Maß im Fall durch eine kumulative Funktion F definiert, so schreibt man auch

oder

(Stieltjes-Integral).

Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so schreibt man auch für

(Erwartungswert). In der theoretischen Physik wird die Schreibweise verwendet, in der Funktionalanalysis manchmal die Schreibweise .

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