Lebesgue-Integral

Nullmengen und fast-überall bestehende Eigenschaften

Eine Menge , die das Maß 0 besitzt, heißt Nullmenge. Im Falle des Lebesgue-Maßes auch speziell Lebesgue-Nullmenge. Ist also mit und f eine integrierbare Funktion, so gilt:

da das Integral über die Nullmenge N den Wert 0 annimmt. ( bezeichnet die Menge ohne die Menge N)

Folglich ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die Funktion f auf einer Nullmenge ändert. Besitzt eine Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, punktweise Konvergenz etc.) auf dem gesamten Definitionsbereich mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, so sagt man, diese Eigenschaft bestehe fast-überall. In der Lebesgue'schen Integrationstheorie ist es folglich oft sinnvoll, zwei Funktionen die fast-überall übereinstimmen, auch als gleich anzusehen - man fasst sie zu einer Äquivalenzklasse zusammen (siehe hierzu auch L^p).

Es ist sogar oft so, dass man Funktionen, die nur fast überall definiert sind (z. B. der punktweise Limes einer Funktionenfolge, die nur fast überall konvergiert), als Funktionen auf dem ganzen Raum auffasst und ohne Bedenken

schreibt, auch wenn f gar nicht auf ganz definiert ist. Dieses Vorgehen ist dadurch gerechtfertigt, dass jede Fortsetzung von f sich nur auf einer Nullmenge N von f unterscheidet und somit das Integral der Fortsetzung über ganz den gleichen Wert hat wie das Integral über .

Diese Konvention erlaubt es, viele Sätze einfacher zu formulieren, zum Beispiel könnte man den Satz von der majorisierten Konvergenz (siehe oben) auch so aufschreiben:

Seien messbar, g integrierbar, f_n sei fast überall konvergent und jedes | f_n | sei fast überall beschränkt durch g.Dann ist jedes f_n und der Limes integrierbar und es gilt:

Man muss beachten, dass eine Nullmenge nur im Sinne des Maßes vernachlässigbar „klein“ ist. Sie kann aber auch durchaus unendlich viele Elemente enthalten. So ist zum Beispiel die Menge , also die Menge der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge. Die Dirichlet-Funktion

ist also im oben genannten Sinne gleich der Funktion, die konstant den Wert Null annimmt (Null-Funktion), obwohl es keine noch so kleine Umgebung gibt, in der ihre Werte übereinstimmen. Eine bekannte überabzählbare (zu gleichmächtige) Lebesgue-Nullmenge ist die Cantor-Menge.

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