Lebesgue-Integral

Konvergenzsätze

Einer der wichtigsten Vorzüge des Lebesgue-Integrals sind die aus mathematischer Sicht sehr schönen Konvergenzsätze. Dies betrifft die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral bei Funktionenfolgen der Form . Die wichtigsten Konvergenzsätze sind:

Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi, 1906): Ist eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen, messbaren Funktionen, so gilt:

.

Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz (Henri Léon Lebesgue, 1910): Konvergiert die Folge der messbaren Funktionen -fast überall gegen die messbare Funktion und sind die Funktionen f_n , , betragsmäßig -fast überall durch eine integrierbare Funktion beschränkt, dann gilt:

• f ist integrierbar,
• und
• 

Lemma von Fatou (Pierre Fatou): Sind , , nichtnegative messbare Funktionen, dann gilt:

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