Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Definitionen

Klassen von Funktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Differentialrechnung

Linearisierung

Regeln/

Funkktionenklassen

Höhere Ableitungen

Sätze

Beispiele

Anwendungen

Regel von de l'Hospital

Taylorreihen

Landau-Symbole

Formale Definition

Anwendung in der

Komplexitätstheorie

Zusammenfassung

Integralrechnung

Implizite Funktionen

Funktionsfolgen und -reihen

Spezielle Funktionen

Mehrdimensionale Analysis

Funktionentheorie

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Funktionalanalysis

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Landau-Symbole

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Landau-Symbole werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben. In der Informatik werden sie insbesondere in der Komplexitätstheorie verwendet, um verschiedene Probleme und Algorithmen danach zu vergleichen, wie "schwierig" oder aufwendig sie zu berechnen sind.

Geschichte

Der Großbuchstabe "O" (damals eigentlich ein großes Omikron) als Symbol für "Ordnung von" wurde erstmals vom deutschen Zahlentheoretiker Paul Bachmann in seinem 1892 erschienen Buch Analytische Zahlentheorie verwendet. Bekanntgemacht wurde diese Notation durch den ebenfalls deutschen Zahlentheoretiker Edmund Landau, mit dessen Namen sie insbesondere im deutschen Sprachraum heute in Verbindung gebracht wird.

Beispiele

Die Landau-Notation wird verwendet, um das asymptotische Verhalten bei Annäherung an einen endlichen oder unendlichen Grenzwert zu beschreiben.

Das große O wird verwendet, um eine maximale Größenordnung anzugeben. So gilt beispielsweise nach der Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten der Fakultät

für

Der Faktor ist dabei nur eine Konstante und kann für die Abschätzung der Größenordnung vernachlässigt werden.

Die Landau-Notation kann auch benutzt werden, um den Fehlerterm einer Approximation zu beschreiben. Beispielsweise besagt

e^x = 1 + x + x² /2 + O(x³ ) für

dass der Absolutbetrag des Approximationsfehler kleiner als eine Konstante mal x³ für x hinreichend nahe bei Null.

Das kleine o wird verwendet, um zu sagen, dass ein Ausdruck vernachlässigbar klein gegenüber dem angegebenen Ausdruck ist. Für differenzierbare Funktionen gilt beispielsweise

f(x + h) = f(x) + hf'(x) + o(h) für

der Fehler bei Approximation durch die Tangente geht also schneller als linear gegen 0.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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