Kurvenintegral

Wegunabhängigkeit

Ist ein Vektorfeld F ein Gradientenfeld, d. h. F ist der Gradient eines skalaren Feldes V, mit

so gilt für die Ableitung der Verkettung von V und r(t)

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über F auf r(t) entspricht. Daraus folgt für einen gegebenen Weg

Zwei beliebige Wege in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von F über ausschließlich von den Punkten r(b) und r(a) abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird ein Vektorfeld, welches dem Gradienten eines skalaren Feldes entspricht, als wegunabhängig bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve , mit zwei beliebigen Wegen und

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld V ist dabei das Potential beziehungsweise die Potentielle Energie; diese ist gemäß der letzten Beziehung über einen geschlossenen Weg gleich Null.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

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