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Kugelkoordinaten| Übliche Konvention | |
Transformation eines Vektorfeldes/ Transformation der partiellen Ableitungen | |
Kugelkoordinaten
Übliche Konvention
Die x-Achse zeigt in 0-, die y-Achse in 1/2π-Richtung, die z-Achse verläuft orthogonal zu den beiden anderen Achsen durch den Ursprung nach oben
Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r, 
,
):
Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten
In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten (im Allg. alle Winkel) stets im Bogenmaß angegeben.
Um die anschauliche Bedeutung der Kugelkoordinaten verbal zu erklären, sei r der Ortsvektor von P (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und rxy die senkrechte Projektion von r in die x-y-Ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung:
- r (Radius) ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors r;
- Φ bzw.
(Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und rxy, gezählt von -π bis π (-180° bis 180°) gegen den Uhrzeigersinn.
-
bzw.
(Polarwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und r, gezählt von 0 bis π (0° bis 180°)
Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen (Parametrisierung)
Die Einheitsvektoren der sphärischen Koordinaten lauten damit:
Tipp: Um diese Einheitsvektoren zu erhalten, muss die Parametrisierung nach der jeweiligen Koordinate (hier ) abgeleitet werden und dann noch auf 1 normiert werden.
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