Kugelkoordinaten

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator einsetzt, findet man den Laplace-Operator

.

bzw.

.

Eine besonders einfache Form um diese Form des Laplace-Operators herzuleiten ergibt sich mit Hilfe der Formel für den Laplace-Beltrami-Operator. Dabei gilt:

.

Dabei gilt , also g^ij = (g_ij )^-1 .

Der Laplace-Beltrami-Operator ist dann genauso definiert wie der gewöhnliche Laplace-Operator, gilt aber für allgemeinere riemannsche Mannigfaltigkeiten:

.

Der metrische Tensor in Kugelkoordinaten ist diagonal und von der Form

.

Somit entfällt die Summe über i und die g^ij sind die Kehrwerte der Komponenten des metrischen Tensors, also 1, r ^{- 2} und

Die Wurzel des Betrags der Determinante ist , also gleich der Jacobi-Determinante.

Setzt man die verschiedenen Größen in die Formel des Laplace-Beltrami-Operators ein, dann ergibt sich

.

Addiert man zu , so ergibt sich die obige Formel für den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten.

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