Kugelkoordinaten

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren

Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch hergeleitet werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben.

Transformation der Vektorraumbasis

Der Basisvektor e_φ zur Koordinate φ gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt P(r, θ, φ) (oft auch Event genannt) bewegt, wenn die Koordinate φ um einen infinitesimalen Betrag dφ verändert wird:

.

Daraus erhält man

.

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss e_φ noch auf die Länge 1 normiert werden:

.

In ähnlicher Weise erhält man die Basisvektoren e_r und e_θ. Um die folgenden Transformationen in kompakter Form zu schreiben, verwenden wir die oben eingeführte Rotationsmatrix S. Diese Matrix ist orthogonal, das heißt, S^-1 = S^T . Die normierten Basisvektoren des Kugelkoordinatensystems kann man dann zusammengefasst so mitteilen:

.

Entsprechend lautet die Transformation in die Gegenrichtung

.

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