Kugeldreieck

Eigenschaften sphärischer Dreiecke

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A_D eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln und des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius r berechnen:

Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her:

Zur Flächenberechnung am Kugeldreieck

Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Großkreise unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffnungswinkel . Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln bzw. .

Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt:

(Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln und .)

Für die Flächeninhalte A_b des blauen, A_g des grünen und A_r des roten Dreiecks gilt:

Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das grüne und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus:

Setzt man (I) ein, ergibt sich:

Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man:

Für A_D ergibt sich also:

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