Kugel

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als ( n−1)‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine 1‑dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n‑Sphären, wenn sie ( n−1)‑dimensionale Sphären im n‑dimensionalen Raum meinen.

Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist

.

Hier ist die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät.Den ( n−1)‑dimensionalen Inhalt der ( n−1)‑dimensionalen Oberfläche, also der ( n−1)‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

.

Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in n Dimensionen

Für eine Einheitskugel in n-Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächen:

Dimensionen	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Volumen	2
Oberfläche	2

Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

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