Kugel

Formeln

Volumen

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung)

Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r entfernt. Zu beachten ist: Das h in der Zeichnung ist nicht identisch mit dem in der Formel zur Volumenberechnung des Kugelsegments.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

s² + h² = r² .

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

.

Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

.

Alternative Herleitung

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe r zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden:.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x:

.

Kreisfläche im Abstand x:

.

Volumen der Kugel V:

.

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments V_KS der Höhe h berechnen:

.

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung

K : x² + y² + z² = r²

beschreiben, wobei x, y, z die Raumkoordinaten sind und r den Radius darstellt.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel durch

.

Mit der Funktionaldeterminante

ergibt sich das benötigte Volumenelement dV als

.

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen und r fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch x und y. Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: (Stichwort: Flächenelement)

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

.

Die Gleichung für den Kreis ist

(x - x_M )² + (y - y_M )² = r²

mit Mittelpunkt

.

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

.

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Kugel aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung