Kugel

Formeln

Oberfläche

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert r hat.Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

Ihr Flächeninhalt ist gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt. Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

Begründung

Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse

Kugelansicht

Teilt man eine Kugel auf in:

• Schichten mit einer Höhe von jeweils d und
• „Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand d zueinander haben

und lässt man d nach 0 streben, so ist

• die Länge jedes Feldes umgekehrt proportional zu x – also zu seinem Abstand von der Mittelachse
• seine Breite hingegen ist proportional zu x.

Aus der oberen Zeichnung rechts wird deutlich, dass c umgekehrt proportional zu x ist ( x ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse). Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“ r und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:

.

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß.

Da alle viereckigen Felder denselben Flächeninhalt haben und dieser am Äquator d² beträgt und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: .

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius r. Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

(O = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen ergibt sich:

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung

Da das Kugelvolumen mit

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Aus der ersten Guldin'schen Regel

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten

Für das Flächenelement auf Flächen r = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

.

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

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