Kubische Gleichung

Lösungsansätze

Raten einer Lösung

Kennt man eine Lösung x₁ exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch (x - x₁ ) dividieren und erhält so eine quadratische Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung x₁ praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung x³ - 6x - 6 = 0 ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden.Ist der führende Koeffizient a vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Faktors d durchprobieren (auch negative Werte!). Ist a von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von d und deren Nenner ein Teiler von a ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert.Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.

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