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Kubische Gleichung

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Die allgemeine Gleichung dritten Grades

ax³ + bx² + cx + d = 0

mit reellen Zahlen a, b, c, d und

kann durch Division mit a und Substitution mit

in die Form

y³ + py + q = 0

gebracht werden, wobei

und

gilt.

Es sei D = 4p³ + 27q² die Diskriminante der linken Seite.

Das Lösungsverhalten hängt nun entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:

D > 0: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen.
D = 0: Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung oder eine dreifache reelle Lösung.
D < 0: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen.

D > 0

Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch

gegeben ist. (Ist dabei eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, so ist die negative und nicht eine der beiden echt komplexen Wurzeln zu wählen, d.h. .)

Die anderen beiden, echt komplexen Lösungen sind im Fall die Lösungen der quadratischen Gleichung

im Spezialfall q = 0 sind die anderen beiden Lösungen

Alternativ kann man die komplexen Lösungen auch direkt angeben: Es sei

eine dritte Einheitswurzel. Dann sind die Lösungen:

D = 0

In diesem Fall gibt es eine doppelte reelle Lösung

und eine einfache Lösung

Ist p = q = 0, so ist y = 0 die einzige (dreifache) Lösung.

D < 0 (casus irreducibilis)

Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen, bei ihrer Bestimmung mit der obigen Formel müssen jedoch dritten Wurzeln aus echt komplexen Zahlen berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt.

Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Wurzeln jedoch berechnet werden:

Cardanische Formeln

Die obigen Formeln tragen den Namen Cardanischen Formeln. Sie wurden, zusammen mit Lösungsformeln für biquadratische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für kubische Gleichungen von Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro.

Die Cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangen kann.

Die Cardanischen Formeln besitzen bei der numerischen Lösung von Gleichungen heute keine praktische Bedeutung mehr. Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höhreren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra entscheidend befruchtet (siehe Galoistheorie).

Komplexe Koeffizienten

Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:

: Die oben für den Fall D > 0 angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt - p/3 ergibt.
D = 0: Die oben für den Fall D = 0 angegebenen Formeln gelten unverändert.

Literatur

Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Wiesbaden 2004, ISBN 3528131926
Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948
Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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