Kreiszahl

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double approximiere_pi(int tropfenzahl) { double pi = 0; int innerhalb = 0; int gesamt = tropfenzahl;

while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit double dotx = Math.random(); double doty = Math.random();

if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) { // Punkt liegt innerhalb des Kreises innerhalb++; } else { // Punkt liegt außerhalb des Kreises }

tropfenzahl--; }

pi = 4*(double)innerhalb/gesamt; return pi;}

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem und stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon, der sie 1727 im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von .

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