Kreiszahl

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl . Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

• das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
• die Fläche eines Kreises mit dem Radius r = 1.

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

• das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch dargestellt werden kann. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das in eine Nullstelle hat. Dies wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

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