Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

   - Elementargeometrie

      - Euklidische Geometrie

      - Planimetrie

         - Grundbegriffe

         - Das Dreieck

         - Das Viereck

         - Polygone

         - Der Kreis

            - Winkel am Kreis

            - Flächeninhalt und

             Umfang

             Kreisring

             Kreisabschnitt

             Kreiszahl

             Berechnung

            - Aufgaben

      - Stereometrie

       Sphärische Geometrie

      - Trigonometrie

   - Analytische Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Kreiszahl

Die Kreiszahl (pi) ist eine mathematische Konstante; ihr Wert beträgt näherungsweise

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes perifereia (Randbereich) bzw. perimeter (Umfang). Die Bezeichnung pi erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675 - 1749). Sie wird auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl . Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

• das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
• die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.

In der Analysis ist es zweckmässiger, zunächst den Kosinus über seine Taylor-Reihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

• das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Johann Heinrich Lambert, 1728-1777

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Wegen der Irrationalität von lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Die ersten 100 Nachkommastellen sind

≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9

Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die gleiche Genauigkeit wie bei den 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (Kreis mit 1 m Durchmesser auf der Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung berücksichtigt werden.

Geschichte der Zahl – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl . Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß ..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten China, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3.

Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604... In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)² = 3,0044... für . In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = 3,14167...; die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.

Möndchen entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Die Teildreiecke, die durch die Höhe des Dreiecks gebildet werden sind flächengleich mit den zugehörigen Möndchen über den Katheten, da die Hypotenusenabschnitte p und q im gleichen Verhältnis stehen wie die Radiusquadrate über den Katheten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71:

.

Archimedes kam über den Bruch zu der Annäherung 3,141635.

Die Bezeichnung „“ stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes′ Konstante eingeführt; für den Kreisumfang war sie allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui – ähnlich wie Archimedes – die Schranken 3,1410 und 3,1427. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch 355/113 (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte 1424 bereits auf 16 Stellen genau.

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶² -Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

John Wallis, 1616–1703

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt:

.

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

.

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall ( = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

.

Sie war Grundlage vieler Approximationen von in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von . Seine Gleichung

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen schreibt, beginnend mit

.

Leonhard Euler, 1707–1783

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande bereits auf 148 Stellen genau an.

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 = 3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau. Zudem lässt sich dieser Bruch leicht merken, weil die ersten 3 ungeraden Ziffern - jeweils doppelt notiert - in der Mitte gespalten werden. Allen diesen rationalen Näherungswerten für ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von entsprechen, z. B. 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

.

Weitere Berechnungsformeln:

(Euler)

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1996 entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Reihendarstellung für :

Diese Summenformel erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von zu berechnen, ohne dass zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r lautet

,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge 2r errechnet sich als

A_Q = (2r)² .

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

.

Damit lässt sich als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: .

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der näherungsweise berechnet werden kann.

Viertelkreis, mit Flächenraster 10x10 angenähert

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahl steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch „Unterhaltsame Geometrie“. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5.000 Nadelwürfe auf einen Wert von .

Näherungskonstruktion

Zur Konstruktion der Zahl gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die enthalten

Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius
• Fläche eines Kreises mit Radius
• Volumen einer Kugel mit Radius
• Oberfläche einer Kugel mit Radius
• Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe
• Volumen eines durch die Rotation der Funktion f(x) um die x-Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen a und
• Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen:

Formeln der Analysis

Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830

• unendlichen Reihen: (Euler, s. auch Riemannsche Zeta-Funktion)
• der Gaußschen Glockenkurve:
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große
• der Fourier-Transformation:
• der Eulerschen Identität:

Die Eulersche Identität als Kombination von , der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl e, der imaginären Einheit i und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die kleiner einer Schranke M sind, teilerfremd sind, strebt mit gegen .

Formeln der Physik

In der Physik spielt neben

• der Kreisbewegung: (Winkelgeschwindigkeit gleich mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: (Heisenbergsche Unschärferelation).

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

• bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von ,
• beim Erdradius zehn Dezimalstellen,
• bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa Jahre) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km/s oder m/a) ergibt, also rund m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10 ^{- 35}  m. Der Kreis besteht also aus Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von ausreichen.

Der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen.

Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird.

Die Zahl spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle – nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.

Offene Fragen

Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort „wiki“ im ASCII-Code entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der Binärdarstellung von .)

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren sogar noch besser als ab.

Literatur

• David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt, Reinbek 2001. ISBN 3-499-61176-7
• Jean-Paul Delahaye: – Die Story. Birkhäuser, Basel 1999. ISBN 3-7643-6056-9
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi – Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, Berlin 1998, 2000 (mit CD-ROM). ISBN 3-540-66258-8
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, New York 1998. ISBN 047131515X
• Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3423330163
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Ullstein, Berlin 1965.
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1974, 1982. ISBN 3-49916-692-5
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990. ISBN 3-40602-535-8
• Jakow I. Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Kreisgeometrie - gestern und heute. Von der Anschauung zur A...

Herbert Zeitler

Mathematik, 5. und 6. Klasse. Geometrie: Symmetrie, Kreis, W...

Ulrich Gernth

Geometrie kinderleicht Winkel - Kreis - Fläche - Körper - Ma...

Dirk Meyer

Mehr Erfolg in Mathematik 8. Klasse: Geometrie: Dreieckskons...

Rolf Baumann

Lernhilfe Mathematik 8. Klasse: Geometrie: Dreieckkonstrukt...

Rolf Baumann

Cyklographie Oder Construction Der Aufgaben Ber Kreise Und K...

Wilhelm Fiedler

Bücher zum Thema kreis geometrie auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de