Kreis

Kreisberechnung in der Analysis

In der modernen Analysis werden die trigonometrischen Funktionen und die Kreiszahl üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa Sinus und Kosinus über ihre Darstellung als Potenzreihe definieren. Eine gängige Definition für den Wert von ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

Der Kreis als Kurve

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung untersucht, werden Kreise als spezielle Kurven angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten Parameterdarstellung als Weg beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius r, dann ist durch die Funktion mit

eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der trigonometrischen Formel sin ² t + cos ² t = 1 folgt für die euklidische Norm der parametrisierten Punkte | f(t) | = r, das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius r.Da Sinus und Kosinus -periodische Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall von f genau einem Kreisumlauf.

Kreisumfang

Der Umfang des Kreises ergibt sich als Länge des Weges f durch Integration zu

Analog gilt für die Länge s(t) des durch f | _{[0, t]} gegebenen Teilkreisbogens s(t) = rt. Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge

mit .

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Kreis aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung