Kreis

Kreisberechnung

Umfang des Kreises mit d = 1

Kreiszahl

Da alle Kreise ähnlich sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses wird in der Elementargeometrie als Definition für die Kreiszahl verwendet. Es handelt sich hierbei um eine transzendente Zahl, bei der sich außerdem gezeigt hat, dass sie in vielen Bereichen der Höheren Mathematik eine herausragende Bedeutung besitzt.

Umfang

Im Rahmen der Elementargeometrie ist das Verhältnis von Kreisumfang U zu dessen Durchmesser, und zwar für beliebige Kreise. Somit gilt

Kreisfläche

Darstellung einer Näherung für die Kreisfläche

Der Flächeninhalt der Kreisfläche A (lat. area: Fläche) ist proportional zum Quadrat des Radius r bzw. des Durchmessers d des Kreises. Man bezeichnet ihn auch als Kreisinhalt.

Um die Formel für den Kreisinhalt zu erhalten, sind Grenzwert-Betrachtungen unerlässlich. Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der nebenstehenden Zeichnung:

Die Zeichnung verdeutlicht, dass der Flächeninhalt einer Kreisscheibe kleiner als 4r² sein muss.

Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur. Diese nähert sich – bei feiner werdender Sektoreinteilung – einem Rechteck an mit der Länge und der Breite r. Die Flächenformel ist somit

Die Flächenformel kann zum Beispiel durch Integrieren der Kreisgleichung oder mit Hilfe der unten beschriebenen Annäherung durch regelmäßige Vielecke bewiesen werden.

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