Konvexe und konkave Funktionen

Konvexität, Beschränktheit und Stetigkeit

Beschränktheit und Konvexität

Setzt man für eine Funktion f zusätzlich zur Bedingung, dass für ein fixes die Beziehung

für alle x,y aus einer konvexen Teilmenge C eines normierten Vektorraums gilt, noch voraus, dass f nach oben beschränkt ist, so folgt daraus bereits die Stetigkeit von f in den inneren Punkten von C. Anschaulich wird dies daraus klar, dass man an einer Unstetigkeitsstelle eine beliebig steile Verbindungsgerade zwischen zwei Funktionswerten ziehen kann, wobei die Funktion zwischen den beiden Werten unterhalb der Verbindungsgeraden und außerhalb der beiden Werte oberhalb der Verbindungsgerade liegen muss. Kann die Verbindungsgerade nun beliebig steil werden, so stößt man irgendwann über die obere Schranke der Funktion.

Formal ist der Beweis allerdings etwas komplizierter. Zunächst beachte man, dass aus den obigen Voraussetzungen für natürliche Zahlen n und

folgt, dass

bzw.

Sei nun a ein beliebiger innerer Punkt von C und

eine zur Gänze in C enthaltene offene Kugel um a. Wäre nun f nicht stetig in a, so gäbe es ein , so dass für jedes ein x existiert, so dass zwar , aber . Sein nun so gewählt, dass

wobei M eine obere Schranke für f sei. Wählt man nun , so existiert also ein x mit

,

aber

| f(x) - f(a) | > varepsilon.

Angenommen, . Dann gilt für

Das kann aber nicht sein, da . Daher liegt y in C, und es muss f(y) < M gelten.

Sei daher . Dann gilt für

Das kann aber auch nicht sein, da . Daher liegt auch z in C, und es muss ebenfalls f(z) < M gelten.

muss daher stetig in a sein.

Die Aussage, dass eine konvexe beschränkte Funktion stetig in den inneren Punkten ist, ist auch bedeutsam für das Lösen der cauchyschen Funktionalgleichung

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(1) = a

Aus dieser Aussage folgt nämlich, dass diese Funktionalgleichung eine eindeutige Lösung hat, wenn zusätzlich gefordert wird, dass f beschränkt ist.

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