Konvexe und konkave Funktionen

Konvexität, Beschränktheit und Stetigkeit

Schwächere Definition der Konvexität

Setzt man Stetigkeit voraus, so reicht für Konvexität in einer konvexen Teilmenge C eines reellen topologischen Vektorraums bereits die Bedingung, dass ein beliebiges, aber fixes mit existiert, sodass für alle x,y aus C gilt:

Um dies zu sehen, betrachtet man die Menge T aller „guten“ t, die durch

definiert ist.

Seien nun . Dann gilt auch , denn

Sein nun t eine beliebige reelle Zahl mit 0 < t < 1. Dann lässt sich eine Intervallschachtelung [u_n , v_n ] mit konstruieren, die gegen t konvergiert: Sei u₀ = 0, v₀ = 1 und und mit .

Sei .

Ist , so setzt man u_{n + 1} := t_n , v_{n + 1} := v_n , und es gilt .

Ist t_n > t , so setzt man u_{n + 1} := u_n , v_{n + 1} := t_n , und es gilt .

sind ebenfalls aus T , es gilt und .

Die so konstruierte Intervallschachtelung konvergiert also gegen t ; wegen der Stetigkeit von f gilt daher . Da t beliebig gewählt war, folgt also T = [0, 1] , und f ist konvex.

Gegenbeispiel ohne Stetigkeit

Dass Stetigkeit für die schwächere Definition wirklich benötigt wird, lässt sich mit folgendem Gegenbeispiel zeigen:Ist b_j eine Hamelbasis des Vektorraums der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen, also eine über den rationalen Zahlen linear unabhängige Menge reeller Zahlen, in der jede reelle Zahl r eine Darstellung der Art mit nur endlich vielen rationalen hat, so erfüllt bei beliebiger Wahl von f(b_j ) die Funktion zwar ist aber nicht notwendigerweise konvex.

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