Konvexe und konkave Funktionen

Eigenschaften

Konvexität und zweite Ableitung

Der Zusammenhang zwischen Konvexität und zweiter Ableitung wurde im Wesentlichen schon 1889 von Otto Hölder beschrieben.Für zweimal differenzierbare Funktionen gilt:

• f ist genau dann konvex, wenn gilt. Ist f '' durchweg positiv, f also stets linksgekrümmt, ist f damit zugleich streng konvex; bei einfacher Konvexität dagegen kann die zweite Ableitung auch einzelne Nullstellen, d.h. die Funktion selbst einzelne nicht gekrümmte Stellen besitzen, wie etwa f(x) = x⁴ an der Stelle x = 0.
• f ist genau dann konkav, wenn gilt. Ist f '' durchweg negativ, f also stets rechtsgekrümmt, ist f damit zugleich streng konkav; bei einfacher Konkavität dagegen kann die zweite Ableitung auch einzelne Nullstellen, d.h. die Funktion selbst einzelne nicht gekrümmte Stellen besitzen, wie etwa f(x) = - x⁴ an der Stelle x = 0.

Ist die Funktion zweimal stetig differenzierbar, dann gilt

• f ist genau dann konvex, wenn die Hesse-Matrix von f positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von f positiv definit, so ist f strikt konvex.
• f ist genau dann konkav, wenn die Hesse-Matrix von f negativ semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von f negativ definit, so ist f strikt konkav.

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