Konvexe und konkave Funktionen

Eigenschaften

Konvexität und erste Ableitung

Ist differenzierbar, dann gilt

• f ist genau dann konvex, wenn ihre Ableitung f ' wachsend ist, und genau dann streng konvex, wenn f ' streng monoton wachsend ist. f ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung f ' fallend ist, und genau dann streng konkav, wenn f ' streng monoton fallend ist. Dieses Resultat findet sich im Wesentlichen schon 1889 bei Otto Hölder.
• Konvexe Funktionen liegen oberhalb der Tangente, also , wobei für streng konvexe Funktionen außerdem f(x + h) > f(x) + hf '(x) für gilt, woraus beispielsweise die Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung für reelle r mit oder folgt.
• Konkave Funktionen liegen unterhalb der Tangente, also , wobei für streng konkave Funktionen außerdem f(x + h) < f(x) + hf' (x) für gilt, woraus beispielsweise die Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung für reelle r mit folgt.
• Eine konvexe (konkave) Funktion ist fast überall differenzierbar

Alternativ:

• Jede konvexe (konkave) Funktion ist im Inneren links- und rechtsseitig differenzierbar.
• Eine überall links- und rechtsdifferenzierbare Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Ableitung monoton wachsend ist.
• Eine überall links- und rechtsdifferenzierbare Funktion ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung monoton fallend ist.

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