Konvexe und konkave Funktionen

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder allgemeiner einer konvexen Teilmenge C eines reellen Vektorraums) nach konvex, wenn für alle x, y aus I (bzw. aus C) und t zwischen 0 und 1 gilt

Anschaulich bedeutet die Definition: Die Funktionswerte zwischen zwei Werten x, y liegen unterhalb oder auf der Verbindungsgeraden der beiden Funktionswerte an x und y.

Gilt das Ungleichheitszeichen in die umgekehrte Richtung, also

für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1, so wird die Funktion als konkav bezeichnet.<ref name="Heuser49.2">Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis (Teil 1), 10. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1993, ISBN 3-519-32231-5. (49.2)</ref>

Um Missverständlichkeiten im Zusammenhang mit der anschaulich-geometrischen Bedeutung beider Begriffe vorzubeugen, präzisiert man die Begriffe "konvex" und "konkav" im hier diskutierten Kontext zuweilen noch einmal durch zusätzliche Angabe einer Blickrichtung, also beispielsweise den hier verwendeten Begriff "konvex" als "konvex von unten" und den Begriff "konkav" - im Gegensatz dazu - als "konvex von oben".

Eine Funktion heißt streng konvex oder strikt konvex, wenn für alle aus I (bzw. C) und t echt zwischen 0 und 1 gilt

f(tx + (1 - t)y) < tf(x) + (1 - t)f(y)

Analog heißt eine Funktion streng konkav oder strikt konkav, wenn für alle aus I (bzw. C) und t echt zwischen 0 und 1 gilt

f(tx + (1 - t)y) > tf(x) + (1 - t)f(y) <ref name="Heuser49.2"/>

Die besondere Bedeutung konvexer bzw. konkaver Funktionen liegt darin, dass sie allgemeiner als lineare Funktionen sind, aber einfach zu untersuchende Eigenschaften haben, die viele Aussagen über nichtlineare Systeme, beispielsweise in der konvexen Optimierung, ermöglichen.

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