Konvexe Optimierung

Optimalitätsbedingungen

Constraint Qualifications

Ein Kriterium, welches sicherstellt, dass gilt, nennt man Constraint Qualification. Mit anderen Worten, eine Bedingung, die sicherstellt, dass die Fritz-John-Bedingungen auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllen, nennt man Constraint Qualification.

Beispiele für Constraint Qualifications sind:

• Slater: Es treten keine Gleichungsnebenbedingungen auf. Des Weiteren gibt es einen Punkt , so dass für alle . An dieser Stelle sei erwähnt, dass die Constraint Qualification von Slater im Allgemeinen als die Wichtigste angesehen wird.
• Lineare Unabhängigkeit – Linear independence constraint qualification (LICQ): Die Gradienten der aktiven Ungleichungsbedingungen und die Gradienten der Gleichungsbedingungen sind linear unabhängig im Punkt .
• Mangasarian-Fromovitz – Mangasarian-Fromovitz constraint qualification (MFCQ): Die Gradienten der aktiven Ungleichungsbedingungen und die Gradienten der Gleichungsbedingungen sind positiv-linear unabhängig im Punkt .
• Konstanter Rang – Constant rank constraint qualification (CRCQ): Für jede Untermenge der Gradienten der Ungleichungsbedingungen, welche aktiv sind, und der Gradienten der Gleichungsbedingungen ist der Rang in der Nähe von konstant.
• Konstante positive-lineare Abhängigkeit – Constant positive-linear dependence constraint qualification (CPLD): Für jede Untermenge der Gradienten, der Ungleichungsbedingungen, welche aktiv sind, und der Gradienten der Gleichungsbedingungen, und falls eine positive-lineare Abhängigkeit im Punkt vorliegt, dann gibt es eine positiv-lineare Abhängigkeit in der Nähe von .

Man kann zeigen, dass die folgenden beiden Folgerungsstränge gelten

und ,

obwohl MFCQ nicht äquivalent zu CRCQ ist. In der Praxis werden schwächere Constraint Qualifications bevorzugt, da diese stärkere Optimalitäts-Bedingungen liefern.

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