Konvergenzkriterium

In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe gemeint. Mit einigen dieser Kriterien kann auch die Divergenz einer Reihe bewiesen werden.

Dabei werden drei Arten von Kriterien unterschieden:

• Die direkten Kriterien, die aus Eigenschaften der Folge selbst auf Konvergenz schließen,
• Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen und
• Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.

Bekannte Konvergenzkriterien sind:

1. Direkte Kriterien:
• Trivialkriterium (Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe.)
• Kriterium der monotonen Konvergenz (Eine Reihe mit positiven reellen Gliedern und beschränkten Partialsummen konvergiert, Grenzwert ist das Supremum der Partialsummen)
• Leibniz-Kriterium
• Cauchykriterium
• Kriterium von Abel
• Kriterium von Dirichlet
2. Vergleichskriterien 1. Art
• Majorantenkriterium, Minorantenkriterium
• Integralkriterium
• Wurzelkriterium
• Cauchysches Verdichtungskriterium
• Grenzwertkriterium
3. Vergleichskriterien 2. Art
• Kriterium von Kummer
• Quotientenkriterium
• Kriterium von Raabe
• Kriterium von Gauß
• Kriterium von Bertrand

Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung. Einen Überblick gibt die Tabelle:

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Konvergenzkriterium aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung