Jacobi-Verfahren

Beschreibung des Verfahrens

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen mit n Gleichungen.

Um dieses zu lösen, wird die i-te Gleichung nach der i-ten Variablen x_i aufgelöst,

und diese Ersetzung, ausgehend von einer willkürlichen Startbelegung x⁽⁰⁾ der Variablen, periodisch wiederholt. Als Bedingung für die Durchführbarkeit ergibt sich, dass die Diagonalelemente a_ii von Null verschieden sein müssen. Da die Berechnung einer Komponente der nächsten Näherung unabhängig von den anderen Komponenten ist, ist das Verfahren, im Gegensatz zum Gauß-Seidel-Verfahren, zur Nutzung auf Parallelrechnern geeignet.

Als Algorithmusskizze mit c Iterationen und n Zeilen bzw. Spalten ergibt sich: für m = 1 bis c für i = 1 bis n x_i = 0 für j = 1 bis n falls x_i = x_i + a_ij x^(m-1)_j ; ende x_i = (b_i - x_i )/a_ii ; ende x^(m) = x; ende

Dabei wurde die willkürliche Erstbelegung des Variablenvektors als Eingangsgrößen des Algorithmus angenommen, die Näherungslösung ist die vektorielle Rückgabegröße.

Bei dünnbesetzten Matrizen reduziert sich der Aufwand des Verfahrens pro Iteration deutlich.

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