Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

      - Lineare Abbildungen

          Teilräume

          Lineare Fortsetzung

          Kern und Bild

          Eigenschaften

          Isomorphismen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

       Konvexe Mengen

       Quotientenvektorräume

   - Matrizen

   - Lineare Gleichungssysteme

   - Determinanten

   - Eigenwerte

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Isomorphismen von Vektorräumen

Seien V und W Vektorräume und eine lineare Abbildung. f heißt ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen V und W, wenn f bijektiv ist. Die Isomorphismen sind also die bijektiven Homomorphismen. Im Falle, dass wenigstens ein Isomorphismus existiert, sagt man V und W sind isomorph und schreibt .

Satz 15XI (Isomorphismus und Umkehrabbildung)

Sei ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen V und W. Dann ist die Umkehrabbildung f ^-1 ebenfalls ein Isomorphismus.

Die Umkehrung einer bijektiven linearen Abbildung ist also wieder linear.

Beweis

Nach Satz 15XJ ist f ^-1 eine Bijektion. Wir brauchen daher nur noch zu zeigen, dass f ^-1 auch linear ist.

Seien , dann gilt f ^-1 (w₁ + w₂ ) = f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ )) + f(f ^-1 (w₂ )))

= f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ))) (wegen der Linearität von f)

= f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ).

Die skalare Multiplikation kann analog behandelt werden. Für und gilt: .

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Höhere Mathematik, 4 Bde., Bd.4, Mengenlehre, Lebesguesches ...

Hans von Mangoldt

Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vektorräume und a...

Karl Faber

Elemente der Funktionalanalysis: Vektorräume, Operatoren und...

Jürgen Appell

Mathematik. Lineare Algebra und Analytische Geometrie (Sek. ...

Einführung in die Vektorräume

Georges Papy

Mathematischer Raum: Hilbertraum, Vektorraum, Metrischer Rau...

Bücher zum Thema Vektorraum auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de