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Invertierbare Matrizen

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Eine Matrix heißt invertierbar oder regulär, falls es eine Matrix gibt, so dass

BA = E,

wobei E die Einheitsmatrix ist.

Die Rechtfertigung von der Invertierbaren zu sprechen wird durch Satz 16AV gegeben, wo gezeigt wird, dass es keinen Unterschied zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen gibt und die Inverse einer Matrix eindeutig bestimmt ist. Daher ist die Schreibweise A^-1 für die inverse Matrix gerechtfertigt und es gilt

A^-1 A = AA^-1 = E

Beispiele

Beispiel 16AZ

Die Inverse zur Matrix ist .

Die inverse Matrix zur Einheitsmatrix E ist wiederum E.

Satz 16AU (Invertierbare Matrizen und bijektive Standardabbildungen)

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Standardabbildung bijektiv ist.

Beweis

"": Wir zeigen, dass der Kern der Standardabbildung der Nullvektor ist und dann folgt aus Satz 15XH die Injektivität und aus Satz 15XR die Bijektivität.

Sei und B die Inverse zu A. Aus Av = 0 folgt v = Ev = BAv = 0.

"": Nach Satz 15XI ist die Umkehrung der Standardabbildung linear, wird also durch eine Matrix B beschrieben. Da die Hintereinanderausführung von Abbildungen gerade der Matrizenmultiplikation entspricht, ist B die Inverse zu A.

Satz 16AV (Eindeutigkeit der inversen Matrix)

Eine Matrix sei invertierbar und BA = E. Dann ist B eindeutig bestimmt und es gilt BA = AB = E.

Beweis

Ist A invertierbar, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung ; bijektiv, also auch surjektiv. Für jedes gibt es ein mit w = Av = A(BA)v = (AB)Av = ABw. Damit ist die Standardabbildung zu AB die identische Abbildung und bzgl. der Standardbasis ist deren Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix. Also: AB = E.

Ist eine weitere Matrix mit CA = E, dann gilt C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B, also ist B eindeutig bestimmt.

Satz 16B3 (Eigenschaften der inversen Matrix)

Seien invertierbare Matrizen. Dann gilt:

AB ist invertierbar und es gilt (AB)^-1 = B^-1 A^-1
(A^-1 )^t = (A^t )^-1

Beweis

(i) (B^-1 A^-1 )AB = B^-1 (A^-1 A)B = B^-1 B = E.

(ii) Unter Benutzung von Satz 15XT: (A^-1 )^t A^t = (A^-1 A)^t = E^t = E.

Inverse einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 Matrix bilden wir die Determinante det(A) = ad - bc und erhalten die inverse Matrix mit

Ist nun det(A) = 0, so gibt es keine inverse Matrix.

Generelle lineare Gruppe

Alle invertierbaren Matrizen aus bilden eine Gruppe, die generelle lineare Gruppe oder auch allgemeine lineare Gruppe. Sie wird mit GL(n, K) bezeichnet. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix und das inverse Element entspricht der inversen Matrix.

Bei GL(n, K) handelt es sich tatsächlich um eine Gruppe, da nach Satz 16B3 das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und die Gruppenaxiome aus der Eigenschaften der Matrizenmultiplikation (Satz 15YY) folgen.

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