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Intervallschachtelung

Man spricht von einer Intervallschachtelung, wenn zwei (oder mehrere) Intervalle ineinander enthalten sind. Seien [a₁ , b₁ ] und [a₂ , b₂ ] zwei Intervalle und gilt , dann sind sie ineinander geschachtelt. Es muss dann folgende Ungleichung gelten:

(1)

Satz 5729C (Intervallschachtelung abgeschlossener Intervalle)

Der Durchschnitt einer Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Intervalle ist nicht leer.

Seien also [a_k , b_k ] für abgeschlossene Intervalle mit der Eigenschaft:

für alle k.

.

Beweis

Analog zu (1) gelten folgende Ungleichungen

(2)

.

Wir zeigen, dass x zu allen Intervallen gehört. Für jedes beliebige k gilt wegen der Supremumseigenschaft . Um zu zeigen, dass auch gilt, nehmen wir an, dass x > b_k ist. Nach (2) ist aber dieses b_k obere Schranke von A und kleiner als x im Widerspruch dazu, dass x das Supremum von A war.

Damit muss aber gelten und da k beliebig gewählt war, muss x in jedem Intervall der Schachtelung liegen, also auch in deren Durchschnitt.

Dieser Satz drückt ebenso wie das Vollständigkeitsaxiom aus, dass es auf der reellen Zahlengerade keine Löcher gibt.

Beispiele

Sei a_k = 0 und , dann ist .

Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Abgeschlossenheit der Intervalle zwingend vorausgesetzt werden muss, denn .

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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