Integralrechnung

Uneigentliche Integrale erster und zweiter Art

Das Integral war bisher stets über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Singularitäten verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen erster Art.

Beispiele sind das Integral

,

wo beide Grenzen uneigentlich sind. Besitzt der Integrand an einem Intervallende eine Singularität, so spricht man von uneigentlichen Integralen zweiter Art.Sie werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b singulär ist:

,

falls der Grenzwert existiert.

Falls eine Stammfunktion bekannt ist, kann also wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle b' ausgewertet werden und dann der Grenzwert für b'nearrow b berechnet werden. Ein Beispiel ist

,

wo der Integrand bei x = 0 eine Singularität besitzt.

Sind beide Grenzen uneigentlich wie z. B. gleichartig bei der gaußschen Glockenkurve oder auch erste und zweite Art gemischt, kann das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt werden. Oft besteht jedoch zwischen dem Verhalten an unterer und oberer Grenze ein tieferer Zusammenhang, so dass eine Aufteilung die Berechnung erschweren würde. Z. B. ist das Integral

an der unteren Grenze uneigentlich zweiter Art und an oberer Grenze uneigentlich erster Art.

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