Integralrechnung

Mehrdimensionale Integration

Wegintegrale

Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve

Ist ein Weg, also eine stetige Abbildung, und eine Funktion, so ist das Wegintegral von f entlang definiert als

Ist , so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form verwendet: f ist eine Funktion , und es wird das Integral

betrachtet.

Komplexe Wegintegrale

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral einer meromorphen Funktion entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

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