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Integralrechnung
Integralrechnung
Mehrdimensionale Integration
Integration von vektorwertigen Funktionen
Die Integration von Funktionen, die nicht reell- oder komplexwertig sind, sondern Werte in einem allgemeineren Vektorraum annehmen, ist ebenfalls auf verschiedenste Arten möglich.
Die direkteste Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf banachraum-wertige Funktionen ist das Bochner-Integral (nach Salomon Bochner). Viele Ergebnisse der eindimensionalen Theorie übertragen sich dabei wortwörtlich auf Banachräume.
Auch die Definition des Riemann-Integrals mittels Riemann’scher Summen auf vektorwertige Funktionen 
zu übertragen, fällt nicht schwer.Ein entscheidender Unterschied ist hierbei jedoch, dass dann nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion Bochner-integrierbar ist.
Eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals, die diesen Mangel behebt, ist das McShane-Integral, welches sich am einfachsten über verallgemeinerte Riemann’sche Summen definieren lässt.
Außerdem ist noch das Pettis-Integral als nächster Verallgemeinerungsschritt erwähnenswert. Es nutzt eine funktionalanalytische Definition, bei der die Integrierbarkeit auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt wird:Sei dafür ein Maßraum. Eine Funktion
heißt dabei Pettis-integrierbar, wenn für jedes stetige Funktional
die Funktion
Lebesgue-integrierbar ist und für jede messbare Menge
ein Vektor
existiert, sodass
gilt. Der Vektor xA
wird dann passenderweise mit bezeichnet.
Für Funktionen , die Werte in einem separablen Banachraum V annehmen, stimmt das Pettis-Integral mit dem McShane- und dem Bochner-Integral überein.Wichtigster Spezialfall all dieser Definitionen ist der Fall von Funktionen in den
, welche bei allen diesen Definitionen einfach komponentenweise integriert werden.
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