Integralrechnung

Konstruktionen

Cauchy-Integral

Augustin Louis Cauchy

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion f, die gleichmäßiger Limes einer Folge t_n von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.

Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen f, für die sich [a, b] in endlich viele Intervalle I_k unterteilen lässt, so dass die Einschränkung von f auf I_k eine stetige oder monotone Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall I_k ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

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