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Integralrechnung
Integralrechnung
Integral für kompakte Intervalle
Axiomatischer Zugang
Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.
Es seien a < b reelle Zahlen, und es sei 
ein Vektorraum von Funktionen
, der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in
werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
geschrieben
mit den folgenden Eigenschaften:
- Linearität: Für Funktionen
und
gilt
-
,
-
.
- Monotonie: Ist
für alle
, so ist
-
- Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalls: Ist
ein Intervall und ist
-
- so ist
-
- gleich der Länge des Intervalls I.
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