Integralrechnung

Integral für kompakte Intervalle

„Kompakt“ bedeutet hier beschränkt und abgeschlossen, es werden also nur Funktionen auf Intervallen der Form [a, b] betrachtet. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

Motivation

Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen f, g auf einem kompakten Intervall [a, b], deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).

Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die begrenzt wird von:

• dem Graphen einer Funktion,
• zwei vertikalen Geraden x = a und x = b
• sowie der x-Achse.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:

gelesen als Integral von a bis b über (oder: von) f(x) dx. Statt x kann auch eine andere Variable, abgesehen von a und b gewählt werden, zum Beispiel t, was den Wert des Integrals nicht ändert.

Integrale negativer Funktionen

Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der y-Achse um ein Stück c, so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:

Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite b - a und der Höhe c, in Formeln

Betrachtet man eine stetige Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein c finden, so dass die Werte von f(x) + c im Intervall alle positiv sind. Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man

Integral über eine negative Funktion und Verschiebung ins positive

das heißt, das Integral von f ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der x-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem „orientierten“ bzw. „gerichteten“ Flächeninhalt.

Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals

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