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Integralrechnung
Integralrechnung
Anwendungen
Mittelwerte stetiger Funktionen
Um den Mittelwert m einer gegebenen stetigen Funktion f auf einem Intervall [a, b] zu berechnen, benutzt man die Formel
Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion im Intervall [a, b] auch tatsächlich angenommen wird.
Beispiel für den Integralbegriff in der Physik
Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung g des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit v eines Körpers zur Zeit t lässt sich daher durch die Formel
ausdrücken.
Nun soll aber die Wegstrecke l berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit T zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne 
die Geschwindigkeit v, die sich aus der Zeit
ergibt, konstant bleibt.
Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums beträgt daher
-
.
Die gesamte Wegstrecke lässt sich daher als
ausdrücken. Wenn man nun die Zeitdifferenz gegen Null streben lässt, erhält man
-
.
Das Integral lässt sich analytisch angeben mit
.
Die allgemeine Lösung führt zur Bewegungsgleichung des im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers:
-
.
Weiter lässt sich aus dieser Bewegungsgleichung durch Differenzieren nach der Zeit die Gleichung für die Geschwindigkeit:
und durch nochmaliges Differenzieren für die Beschleunigung herleiten:
- a = g.
Weitere einfache Beispiele sind:
- Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit.
- Die elektrische Ladung eines Kondensators ist das Integral des durch ihn fließenden Stromes über die Zeit.
- Das Integral des Produktes der spektralen Bestrahlungsstärke (Ee(ν) in W/m2Hz) mit der spektralen Hellempfindlichkeitskurve des Auges liefert die Beleuchtungsstärke (E in Lux = Lumen/m2).
- Das Integral der Strömungsgeschwindigkeit (Längskomponente) über den Querschnitt eines Rohres liefert den gesamten Volumenstrom durch das Rohr (weitere mehrdimensionale Integrale siehe unten).
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