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Infimum und Supremum

Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung und A eine nichtleere Teilmenge .

Minimum und Maximum

Unter dem Minimum min(A) von A verstehen wir alle unteren Schranken von A, die zu A gehören und dementsprechend ist das Maximum max(A) die Menge aller oberen Schranken von A, die zu A gehört. Mittels Minorante und Majorante kann man die Definition elegant wie folgt ausdrücken:

(1)

Die Sprechweise "das" Minimum/ Maximum ist gerechtfertigt durch

Satz 1602

Existieren Minimum (Maximum) einer Menge A so sind sie eindeutig bestimmt.

Beweis

Seien . Dann gilt und , damit sind x und y beide untere Schranken von A, also gilt sowohl als auch . Damit gilt x = y.

Analog wird der Beweis fürs Maximum geführt.

Infimum und Supremum

Das Infimum inf(A) einer Menge A ist die größte untere Schranke von A und das Supremum sup(A) ist die kleinste obere Schranke von A. Mit (1) können wir also schreiben:

Nach Satz 1602 sind auch Infimum und Supremum eindeutig bestimmt, sofern sie existieren, da sie als Minimum bzw. Maximum von Minoranten- bzw. Majorantenmengen definiert sind.

Eine andere Formulierung der Definition ist gegeben durch

Satz 160V

Sei s = inf(A), dann gilt für alle und für alle (für die also für alle ist) gilt: . Das Infimum ist also die größte untere Schranke. Insbesondere gilt: falls für alle , dann ist auch .

Sei s = sup(A), dann gilt für alle und für alle (für die also für alle ist) gilt: . Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke. Insbesondere gilt: falls für alle , dann ist auch .

Beweis

Man schreibe die Definitionen explizit auf und mache sich klar, was Majorante/ Minorante bedeutet.

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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