ILU-Zerlegung

Grundform

In der Grundform wird als Besetzungsstruktur P die von A vorgegeben. Die Zerlegung in die Matrizen L und U wird dann durch folgende Bedingungen definiert:

1. u_ii = 1, i = 1, ..., n,
2. 
3. 

Da für nicht (LU)_ij = 0 gefordert wird, ist möglich (dies motiviert noch einmal den Namen unvollständige LU-Zerlegung).

Gegeben ist die -Matrix A = (a_ij ). Die unvollständigen Zerlegungsmatrizen L und U werden dann gemeinsam in einer neuen Matrix M = (m_ij ) abgespeichert, wobei die bereits vorher bekannten Einsen auf der Diagonale von U nicht gespeichert werden. Die Matrix M wird derart initialisiert, dass sie für Einträge aus P identisch zu A gesetzt wird, andernfalls zu Null. Die Berechnung der Zerlegung erfolgt dann mittels des folgenden Algorithmus:

For k = 1, ..., n-1, do For i = k + 1, ..., n and if , do m_ik := m_ik /m_kk For j = k + 1, ..., n and if , do m_ij := m_ij - m_ik m_kj

Die Reihenfolge der Schleifen im obigen Algorithmus kann verändert werden, um je nach Datenstruktur die Effizienz zu verbessern. Wird die Matrix beispielsweise zeilenweise abgespeichert, geschehen die Speicherzugriffe in der letzten Schleife nicht auf benachbarte Speicherblöcke. In solchen Fällen ist dann eine Vertauschung von Schleifen sinnvoll.

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