Householdertransformation

Konstruktion einer spezifischen Spiegelung

Es sei ein Vektor a gegeben, der auf ein Vielfaches des Vektors e gespiegelt werden soll, das heißt, gesucht ist ein Einheitsvektor v mit . Geometrisch ist der Vektor v die Richtung einer der zwei Winkelhalbierenden der Geraden in Richtung a und in Richtung e. Die Winkelhalbierende ergibt sich, indem man auf beiden Geraden Punkte mit demselben Abstand zum Nullpunkt wählt und auf der Verbindungsstrecke dieser zwei Punkte den Mittelpunkt konstruiert. Die Gerade durch Nullpunkt und Mittelpunkt hat dann die gesuchte Richtung v, der Vektor v selbst ergibt sich durch Normieren dieser Richtung. Die zweite Winkelhalbierende ergibt sich, indem die Konstruktion ausgehend von a und -e durchgeführt wird.

Der Einfachheit halber sei e normiert, ||e|| = 1. Dann muss, wegen der Orthogonalität der Spiegelung, gelten. Der gesuchte Spiegelungsvektor v ergibt sich nun durch Normieren des Mittelpunktes , also

.

Beide Vorzeichenvarianten führen zum gewünschten Ergebnis (sofern der Nenner von Null verschieden ist). Aus Gründen numerischer Stabilität wird das Vorzeichen von so gewählt, dass der Nenner am größten ist, also gilt.

In der Probe ergibt sich

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