Householdertransformation

Definition und Eigenschaften

Illustration der Householder-Transformation in 2D

Die Spiegel-Hyperebene kann durch einen Normalenvektor v, also einen Vektor, der orthogonal zur Hyperebene ist, definiert werden. Ist v als Spaltenvektor gegeben und I die Einheitsmatrix, dann wird die oben beschriebene lineare Abbildung durch die folgende Matrix dargestellt:

Dabei bezeichnet v^T die Transponierte des Spaltenvektors v, also einen Zeilenvektor. Der Nenner v^T v ist das Skalarprodukt von v mit sich selbst, vv^T das dyadische Produkt, eine Matrix. Die Matrix beschreibt die Orthogonalprojektion auf die durch v gegebene Richtung.Ist v auf die Länge eins normiert, also v^T v = 1, so vereinfacht sich die Formel zu

H = I - 2vv^T

Die Spiegelungseigenschaft ersieht man daraus, dass

,

wobei das Skalarprodukt bezeichnet. Der Term entspricht dabei dem Abstand des Punktes x zur Hyperebene . Der Vektor x wird also in zwei orthogonale Anteile zerlegt, wobei der erste Anteil in der Hyperebene liegt und der zweite ein Vielfaches des Vektors v ist. Unter der Spiegelung wird der Anteil in der Ebene invariant gelassen, der Anteil in Richtung v, also senkrecht zur Ebene, wird "umgeklappt", also nun abgezogen statt addiert.

Die Householder-Matrix hat folgende Eigenschaften:

• Sie ist symmetrisch: H = H^T
• Sie ist orthogonal: H^-1 = H^T
• Sie ist involutorisch: H² = I (Dies folgt aus der Symmetrie und der Orthogonalität.)
• Sie hat die Eigenwerte -1 (mit Vielfachheit 1) und 1 (mit Vielfachheit n-1).
• Matrix-Vektor-Multplikationen mit H sind schnell berechenbar.

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