Hilbertraumbasis

Systeme von Vektoren und ihre Eigenschaften

Linearkombinationen

Die einfachste Forderung ist nun, dass es zu jedem Koeffizientenvektor auch eine Linearkombination des Systems X geben möge. Im Allgemeinen ist aber die „Summe“

nicht definiert. Für jedes gibt es aber Koeffizientenvektoren mit endlichem Träger und einem Abstand , für den diese Linearkombination definiert ist. Die Frage ist nun, wann diese endlichen Linearkombinationen einen gemeinsamen Grenzwert für haben.

Definition (Besselsystem)

X heißt Besselsystem, falls die Abbildung mit stetig ist, d. h. falls es eine Konstante B gibt mit

.

Bemerkung: Diese Ungleichung muss nur für endliche Koeffizientenfolgen bzw. -funktionen mit endlichem Träger erfüllt sein, um schon für alle Koeffizientenfolgen bzw. -funktionen zu gelten.

Unter diesen Umständen bilden die Bildvektoren einer Folge endlicher Approximationen eines Koeffizientenvektors eine Cauchyfolge im Hilbertraum . Diese Folge besitzt also einen Grenzwert, und dieser ist unabhängig von der gewählten approximierenden Folge.

Da ein linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen ist, gibt es einen adjungierten Operator . Nach Definition eines adjungierten Operators bestimmt sich dieser zu . Ist X ein Besselsystem, so erfüllt der adjungierte Operator eine Besselsche Ungleichung: Mit der Konstanten B>0 gilt für beliebige Vektoren die Ungleichung

.

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