Hilbertraumbasis

Systeme von Vektoren und ihre Eigenschaften

Sei ein Hilbertraum über dem Körper oder . Sei weiter eine (endliche, abzählbare oder gar überabzählbare) Teilmenge des Hilbertraums. Um diese Teilmenge sprachlich von Untervektorräumen zu unterscheiden, wird X System von Vektoren genannt.

Koeffizientenraum

Zu jeder endlichen Anzahl von Vektoren aus X kann man ohne Einschränkung Linearkombinationen bilden. Die Koeffizienten einer solchen Linearkombination kann man in einer Funktion zusammenfassen, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden ist. Die Linearkombination hat dann die Gestalt

.

Auf dem Raum dieser Funktionen mit endlichem Träger kann man ein Skalarprodukt definieren als

.

Nur endlich viele Terme sind von Null verschieden, d. h. die Summe ist als solche definiert.

Jedes Skalarprodukt definiert auch eine Norm und damit eine Metrik. Sei mit die Vervollständigung des Raumes bzgl. dieser Topologie bezeichnet. soll im folgenden als Koeffizienten- und später als Koordinatenraum dienen. Ist X endlich, so ist dieser Koeffizientenraum isomorph zu einem euklidischen Raum, für X abzählbar ist der Koeffizientenraum isometrisch isomorph zum Folgenraum .

Der Einfachheit halber werden Elemente aus als Koeffizientenvektoren bezeichnet, die Komponente von c zum „Index“ x ist der Wert c(x). Ein Koeffizientenvektor c heißt endlich, falls der Träger von c endlich ist.

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