Hilbertraumbasis

Folgerungen

für Frames

Pseudoinverse

Als Folge der Frameungleichung ist der Operator surjektiv. Denn das orthogonale Komplement des Bildes ist gerade der Kern von , und nach der linken Ungleichung hat jeder Vektor im Kern die Länge Null.

Analog zur Überlegung zum Rieszsystem ist nun der Operator selbstadjungiert, beschränkt und positiv definit. Es gibt dessen inversen Operator , mit welchem wiederum der pseudoinverse Operator gebildet werden kann. In diesem Fall gelten die Identitäten

• ist die Identität des Hilbertraumes und
• ist die Projektion auf das Bild des adjungierten Operators, welches gleichzeitig das orthogonale Komplement des Kerns ist, .

Kleinster Koeffizientenvektor

Mit einem Frame X kann jeder Vektor als Linearkombination des Systems X dargestellt werden. Oft gibt es mehrere Koeffizientenvektoren, die diese Aufgabe erfüllen. Unter all diesen Koeffizientenvektoren ist der kleinste.

Dualer Frame

Es gibt zu einem Frame X einen dualen Frame , wobei R der oben definierte inverse Operator zu ist. Dieses System ist tatsächlich ein Frame mit Konstanten , er ist dual in dem Sinne, dass die Identität entwickelt werden kann zu

,

d. h. die Skalarprodukte mit den Vektoren des dualen Frames ergeben die Komponenten des kleinsten Koeffizientenvektors zu v.

Parseval-Frame

Ein straffer Frame X, dessen Framekonstanten beide gleich 1 sind, wird Parsevalframe genannt, da in ihm die Parsevalsche Gleichung

gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass X sein eigener dualer Frame ist, d. h. jeder Vektor kann entwickelt werden als

.

Es gilt der Satz: Sind die Vektoren eines Parsevalframes X allesamt Einheitsvektoren, so ist X schon eine Hilbertbasis.

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